Як правильно на початку наступного тижня чи тижня?

У прийменниковому відмінку слово тиждень має закінчення -е: на наступного тижня.

Як правильно писати наприкінці тижня чи тижня?

Тижні – Іменник «тиждень» у формі родового відмінка однини і у формі називного і знахідного відмінків множини. Вживається у висловлюваннях: протягом тижня, на початку тижня, у середині тижня, наприкінці тижня (протягом чого? — родовий відмінок).